Derivadas para maximizar ganancias

Escrito por: Daniela Lobos Guzmán

¿Para que sirven las derivadas en economía?

En el mundo de la economía, a menudo nos encontramos con situaciones en las que queremos maximizar ganancias o minimizar costos. Para abordar estos problemas, recurrimos a las derivadas.

Las derivadas son una herramienta fundamental en cálculo que nos permiten estudiar cómo cambia una función en relación con su variable independiente. En economía, las funciones suelen representar relaciones entre variables como costos, ingresos, utilidades, entre otras.

La ganancia máxima se refiere al nivel más alto de ganancias que una empresa puede alcanzar en un determinado período de tiempo.

A continuación veremos como utilizar las derivadas para maximizar ganancias.

¿Cómo aplicamos las derivadas?

Cuando queremos maximizar o minimizar una función en economía, como maximizar los ingresos de una empresa o minimizar los costos de producción, utilizamos las derivadas para encontrar los puntos críticos de la función. Estos puntos críticos son aquellos en los que la derivada de la función es igual a cero.

Maximizar ganancias

Para lograr maximizar las ganancias dentro de una empresa, necesitaremos tener conocimiento de las funciones de: Ingreso y costos, puesto que la función de las ganancias (utilidades) seria la diferencia entre los ingresos y los costos.

Te explicaré con un ejemplo práctico como maximizar las ganancias

Supongamos que una empresa produce y vende relojes. El objetivo es maximizar las ganancias de la empresa. Para esto, necesitamos entender cómo los ingresos, costos y utilidades de la empresa cambian con la cantidad de relojes que se producen y venden.

La función de ingresos de la empresa de reloj es:

I(x) = 20.000x

Y la función de costos:

C(x) = 10.000 + 500x²

Por lo tanto, la función de utilidad quedaría como:

U(x)=I(x)-C(x)

U(x) = (20.000x) - (10.000+500x²)

U(x) = 20.000x - 500x² - 10.000

Para maximizar las ganancias, necesitamos encontrar el valor de “X”, o sea, la cantidad que debemos vender de reloj para tener nuestra máxima utilidad. Esto se puede hacer utilizando la derivada de la función de utilidad, la cual es: 

U(x) = 20.000x - 500x² - 10.000

Si no entiendes como derivar te dejo una pequeña explicación de este ejercicio:

La derivada de una potencia es: La potencia multiplicada por la base elevada al exponente menos uno, para que quede más claro:

La derivada de 20.000x sería: 1*20.000 (x^(1-1))

Lo que es igual a: 20.000x°=20.000 

(ya que, cualquier número elevado a 0 es igual a 1)

Y la de -500x² sería: -500 * 2 (x ^ (2-1))

Lo que quedaría como: -1.000x¹

Y la derivada de una constante es igual a 0.

-10.000 = 0

Entonces, la derivada de nuestra función de utilidad sería igual a:

U(x)´=20.000-1.000x

Para conocer los máximos o mínimos de la función, necesitamos encontrar el punto o puntos críticos de nuestra función de utilidad, esto lo conseguimos igualando a cero el resultado de la derivada. 

20.000 - 1.000x = 0

-1.000x = -20.000

x=20

Para determinar si nuestro resultado es un máximo o un mínimo podemos comprobar usando la segunda derivada de la función de utilidad, que en este caso sería:

U"(x)= -1.000

Por lo tanto, como el resultado de la segunda derivada es negativa, nos confirma que nuestro punto crítico es en X=20, en este punto se produce un máximo. 

Esto significa que nuestras ganancias se maximizan si producimos y vendemos 20 relojes.

Para saber las ganancias que obtendremos al vender 20 relojes, remplazamos nuestra “X” en la función original.

U(x)=20.000x-500x²-10.000

U(20)=20.000*20 - 500*20² - 10.000

U(20)=400.000 - 200.000 - 10.000

U(20)=190.000

Entonces, al vender 20 relojes, nuestras ganancias serán de $190.000, luego de esta producción nuestras ganancias irán bajando, como se puede observar en el siguiente grafico:

U(x)=20.000x - 500x² - 10.000

Fuente: Elaboración propia. 27 de abril de 2024

En el eje “X”, tenemos la cantidad de relojes vendidos, en el eje “Y”, se reflejan las ganancias al vender “X” cantidad. 

Te dejaré un video con otro ejemplo para que tengas más claridad aún sobre como utilizar las derivadas para maximizar ganancias.

Fuentes 

            Betfair. (2023, 11 septiembre). Las ganancias máximas: cuándo se aplican y cuáles son sus límites. Diario AS. https://apuestas.as.com/juego-responsable/las-ganancias-maximas-cuando-se-aplican-y-cuales-son-sus-limites-n/

Derivada  exploracion de los conceptos basicos  comprension de la derivada en calculo - FasterCapital. (s. f.). FasterCapital. https://fastercapital.com/es/contenido/Derivada--exploracion-de-los-conceptos-basicos--comprension-de-la-derivada-en-calculo.html

Jose. (2023, 23 octubre). Aplicación de la Derivada en Economía: Análisis de Crecimiento y Cambio. Todo Sobre Economia. https://infoeconomia24h.com/aplicacion-de-la-derivada-en-economia-analisis-de-crecimiento-y-cambio/

Quintero, A. F. S. (s. f.). 4. Clase - Máximos y Mínimos (1). Scribd. https://es.scribd.com/document/504945055/4-Clase-Maximos-y-Minimos-1